赫尔德不等式是概率论中的一种重要不等式，它描述了随机变量之间的乘积的期望值与各随机变量的期望值的乘积之间的关系。具体来说，如果 $X_1, X_2, \\cdots, X_n$ 是 $n$ 个随机变量，且它们的 $p$ 次方的期望值（$p>1$）均存在，则有：

$$

\\left[ E\\left(\\prod_{i=1}^n X_i^p\\right) \\right]^{1/p} \\leq \\sum_{i=1}^n \\left[ E(X_i^p) \\right]^{1/p}

$$

证明过程如下：

1. 当 $n=2$ 时，赫尔德不等式成立：

我们可以将左侧式子中的 $p$ 次方改写为指数形式：

$$

\\begin{aligned}

\\left[ E\\left(\\prod_{i=1}^2 X_i^p\\right) \\right]^{1/p} &= \\left[ \\int\\limits_{-\\infty}^{+\\infty} \\int\\limits_{-\\infty}^{+\\infty} x_1^p x_2^p f(x_1, x_2) dx_1 dx_2 \\right]^{1/p} \\\\

&\\leq \\left[ \\int\\limits_{-\\infty}^{+\\infty} \\int\\limits_{-\\infty}^{+\\infty} (|x_1|+|x_2|)^p f(x_1, x_2) dx_1 dx_2 \\right]^{1/p} \\\\

&= \\left[ E(|X_1|+|X_2|)^p \\right]^{1/p} \\\\

&\\leq \\left[ E(|X_1|^p)^{1/p} + E(|X_2|^p)^{1/p} \\right] \\\\

&= \\left[ E(X_1^p)^{1/p} + E(X_2^p)^{1/p} \\right]

\\end{aligned}

$$

其中，第一个不等式是因为 $x_1^p x_2^p \\leq (|x_1|+|x_2|)^p$，第二个不等式是根据曼格尔不等式。

2. 假设当 $n=k$ 时赫尔德不等式成立，即：

$$

\\left[ E\\left(\\prod_{i=1}^k X_i^p\\right) \\right]^{1/p} \\leq \\sum_{i=1}^k \\left[ E(X_i^p) \\right]^{1/p}

$$

3. 当 $n=k+1$ 时，考虑将 $k+1$ 个随机变量分为两组，一组包含前 $k$ 个随机变量，另一组包含最后一个随机变量，即：

$$

\\begin{aligned}

\\left[ E\\left(\\prod_{i=1}^{k+1} X_i^p\\right) \\right]^{1/p} &= \\left[ E\\left(\\prod_{i=1}^{k} X_i^p \\cdot X_{k+1}^p \\right) \\right]^{1/p} \\\\

&\\leq \\left[ E\\left(\\prod_{i=1}^{k} |X_i|^p \\right) \\right]^{1/p} \\cdot \\left[ E\\left(|X_{k+1}|^p \\right) \\right]^{1/p} \\\\

&\\leq \\left( \\sum_{i=1}^k \\left[ E(|X_i|^p) \\right]^{1/p} \\right) \\cdot \\left[ E(|X_{k+1}|^p) \\right]^{1/p} \\\\

&\\leq \\left( \\sum_{i=1}^{k+1} \\left[ E(|X_i|^p) \\right]^{1/p} \\right)

\\end{aligned}

$$

其中，第一个不等式是根据 $n=2$ 时的结论，第二个不等式是根据 $|x_1 x_2| \\leq |x_1|^p + |x_2|^p$ 得到的。

综上所述，赫尔德不等式得证。